BARISAN DAN DERET ARITMATIKA : CONTOH SOAL DAN PENERAPANNYA DALAM KEHIDUPAN SEHARI - HARI

BARISAN ARITMATIKA

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan.

Contoh :

• 1, 3, 5, 7, ...
• 2, 5, 8, 11, ...
• 100, 98, 96, 94, ...
• 400, 350, 300, 250, ...
• Semua contoh di atas adalah barisan aritmatika karena barisan bilangan itu memiliki pola ditambah atau dikurangi bilangan yang sama seperti gambar berikut

Untuk barisan yang tidak terlalu panjang, pemecahannya dapat dilakukan dengan melanjutkan pola tersebut. Namun jika barisannya sangat panjang, maka untuk menemukan angka pada urutan tertentu digunakan bantuan rumus :

CONTOH CARA MENGGUNAKAN RUMUS :

Sebuah barisan bilangan tersusun atas angka- angka berikut :

7, 11, 15, 19, ... Berapakah nilai angka yang berada pada urutan ke 201?

Jawaban : Dilihat dari pengulangannya, barisan bilangan di atas adalah barisan aritmatika dikarenakan berulang ditambah angka yang sama, yaitu 4 dengan suku pertama angka 7. 

Maka suku ke 201 adalah : 

U201 = a + (n-1)b = 7 + (201-1).4 = 807

===============================================
CONTOH PENERAPAN BARISAN ARITMATIKA DALAM KEHIDUPAN SEHARI- HARI :

Andi menyimpan uang sebesar Rp 5000.000,- di Bank dengan janji mendapatkan bunga Rp 1500 setiap bulannya. Berapakah jumlah tabungan Andi setelah 5 tahun? 

5 tahun = 60 bulan 

Kalau dituliskan jumlah uang simpanan Andi akan didapatkan barisan seperti berikut : 

5000.000  ,  5001.500  , 5003.000  ,  5004.500  ,  .....

Barisan bilangan di atas adalah barisan aritmatika, karena terjadi penambahan secara konsisten Rp 1500 setiap bulan. Dari barisan tersebut diperoleh bahwa a = 5.000.000 dan b = 1500.

Maka : U60 = 5.000.000 + (60-1).1500 = Rp 5.088.500,- 

===============================================

Seorang pemuda mendapatkan warisan sebesar Rp 100 juta. Kemudian pemuda itu berhenti bekerja dan hidup dari uang warisan tersebut. Jika untuk kebutuhan makan sehari- hari pemuda itu menghabiskan Rp 2 juta perbulan, berapa sisa warisan itu setelah 10 tahun kemudian?

10 tahun = 120 bulan 

Barisan bilangan uang pemuda itu adalah :

100 juta, 98 juta, 96 juta, 94 juta, ....  , U120?

dari barisan di atas diperoleh a = 100 dan b = -2 sehingga 

U120 = 100 + (120 - 1)(-2) = minus 138 juta !

Kesimpulan sebelum 10 tahun pemuda itu sudah kehabisan uang !

Lalu pada bulan ke berapa pemuda itu tepat kehabisan uang warisan itu?

Untuk menghitungnya tetap menggunakan rumus Un = a + (n-1)b . Namun kalau sebelumnya mencari Un, sekarang diganti menjadi mencari "n", sehingga rumusnya menjadi :

• Un =  a     + (n - 1)b
• 0    =  100 + (n - 1)(-2)
• 0    =  100 + (-2n) + 2 
• 0    =  102  - 2n 
• 2n  =  102 
• n    =  102/2  = 51 
• Jadi uang warisan itu akan habis pada bulan ke 51.

===============================================

Ada sebuah prinsip yang sangat bagus mengatakan bahwa "Hari ini harus lebih baik dari kemarin, dan hari besok harus lebih baik dari hari ini!"

Dalam rangka menerapkan prinsip ini, seorang penjual roti menetapkan bahwa produksi roti hari ini harus lebih banyak 2 buah dibanding produksi kemarin, dan produksi besok harus lebih banyak 2 buah dibanding produksi hari ini. Jika hari ini produksi rotinya 50 buah, berapakah produksi rotinya satu bulan berikutnya? 

Jawab : Jika dituliskan dalam bentuk matematika, maka kasus di atas dapat ditulis sebagai sebuah barisan : 50, 52, 54, 56, ... yang merupakan sebuah barisan aritmatika dengan "a" = 50 dan "b"= 2 . Maka setelah 30 hari didapatkan 

U30 = 50 +(30-1).2 = 108 buah

===============================================

Seorang siswa ingin menjadi seorang penulis. Ia kemudian berjanji pada dirinya sendiri. Hari ini aku akan menulis sebanyak 6 kalimat saja. Besok aku tingkatkan menjadi 8 kalimat. Hari selanjutnya 10 kalimat. Dan hari - hari selanjutnya aku harus bisa membuat 2 kalimat lebih banyak dari hari sebelumnya. Jika siswa itu konsisten dengan janjinya, pada hari keberapa siswa itu sudah mampu membuat minimal 100 kalimat perhari?

Jawab : Kasus di atas adalah barisan aritmatika 6, 8, 10, ... dengan nilai a = 6 dan b = 2. Agar dapat menulis seribu kata maka Un = 1000 , sehingga ...

Un = a + (n-1)b

100 = 6 + (n-1)2

100 = 6 + 2n - 2

100 = 4 + 2n 

2n = 100 - 4

2n = 96 

n = 96/2 = 48 hari

===============================================

DERET ARITMATIKA 

Terkait dengan barisan aritmatika, dikembangkan suatu pola penjumlahan dari barisan tersebut. Contoh dari barisan bilangan 1, 3, 5, 7, .... dapat dikembangkan menjadi DERET ARITMATIKA : 1 + 3 + 5 + 7 + .... 

Untuk menghitung nilai deret ini pada urutan tertentu digunakan rumus

Contoh cara menerapkan rumus:

Terdapat sebuah deret aritmatika 1+4+7+10+ ... Berapakah jumlah 12 suku pertama deret tersebut?

Jawab : S12 = 12/2 . (2.1 + (12-1).3) = 210 

Lalu untuk apa deret aritmatika ini ?

CONTOH PENERAPAN DERET ARITMATIKA DALAM KEHIDUPAN SEHARI - HARI 

Sebuah pabrik perabot pada awal berdirinya hanya memproduksi lemari kayu sebanyak 5 buah. Karena ada peningkatan pesanan, maka bulan berikutnya pabrik itu memproduksi sebanyak 7 lemari, kemudian bulan berikutnya 9 lemari demikian seterusnya, dan setiap satu bulan sekali pabrik itu memproduksi 2 lemari lebih banyak dibanding bulan sebelumnya. Jika pabrik itu sudah beroperasi selama 10 tahun, berapakah jumlah keseluruhan lemari yang sudah diproduksi oleh pabrik itu?

Jawab : 

10 tahun = 120 bulan

Jumlah produksi lemari pada kasus di atas secara metematis dapat ditulis sebagai barisan aritmatika 5 + 7 + 9 +  ... dengan nilai a = 5 dan b = 2. 

Maka jumlah lemari yang sudah diproduksi selama 10 tahun adalah S120 = 120/2 . (2.5  + (120-1).2) = 14.880 buah.

Demikian sharing saya, semoga bermanfaat dan memberi inspirasi :)