BARISAN GEOMETRI
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan.
Contoh Barisan Geometri :
- 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
- 2, 6, 18, 54, ...
- 5, 10, 20, 40, ...
- 1000, 500, 250, 125, ...
Bilangan pengali atau pembagi ini disebut dengan rasio dan disimbolkan dengan huruf "r" . Sedangkan angka awal dari barisan tersebut disebut suku pertama dan biasanya diberi simbol "a".
Rumus Barisan Geometri
Untuk mendapatkan suatu angka suku ke-n dari suatu barisan geometri, bisa saja dilakukan dengan cara melanjutkan barisan itu hingga suku yang dikehendaki. Namun jika yang dikehendaki semisal suku ke 200, maka cara tersebut akan sangat melelahkan dan berpeluang salah karena kekurangtelitian. Maka untuk mengatasi hal ini perlu digunakan rumus dalam menentukannya.
Contoh cara menerapkan rumus Barisan Geometri
Semisal ada sebuah barisan 3, 6, 12, 24, ... berapakah angka yang berada pada urutan ke 16?
Jawab : Barisan di atas adalah barisan geometri karena angka sesudahnya adalah 2 kali dari angka sebelumnya. Sehingga dari barisan di atas diperoleh nilai a = 3 dan r = 2. Maka nilai angka pada urutan ke 16 adalah ...
- Un = a . r^(n-1)
- U16 = 3 . 2^(16-1)
- U16 = 3 . 2^(15)
- U16 = 3. 32768
- U16 = 98.304
CONTOH PENERAPAN BARISAN GEOMETRI DALAM KEHIDUPAN SEHARI- HARI
Seorang siswa mengambil selembar kertas dan membaginya menjadi 2 sama besar. Pada tahap berikutnya ia membagi lagi masing- masing potongan itu menjadi 2 bagian sama besar sehingga mendapatkan 4 potongan. Tahap selanjutnya ia meneruskan pembagian potongan kertas itu menjadi 2 bagian sama besar, sehingga ukurannya semakin kecil. Berapakah jumlah potongan yang diperoleh setelah siswa itu membagi kertas sebanyak 10 tahap?
Jawab : Kejadian di atas dapat kita tulis secara matematik sebagai sebuah barisan : 1, 2, 4, 8, ... . Barisan ini adalah sebuah barisan geometri dengan a = 1 dan r = 2 . Maka jumlah potongan setelah kegiatan perobekan 10 tahap adalah U10.
- Un = a . r^(n-1)
- U10 = 1 . 2^(10-1)
- U10 = 1 . 2^(9)
- U10 = 1 . 512
- U10 = 512
===============================================
Seorang koki mengeluarkan sebuah roti berukuran besar dari sebuah oven. Kemudian ia membagi roti itu menjadi 2 potongan sama besar. Tahap berikutnya ia membagi lagi kedua potongan itu menjadi 2 sehingga sekarang didapatkan 4 potongan sama besar. Seterusnya ia melakukan pembagian secara berulang hingga tahap ke 7 dan kemudian menjual potongan- potongan tersebut. Berapakah ukuran roti yang dijual dibanding ukuran mula- mula?
Jawab : Dari kisah di atas dapat disusun sebuah barisan bilangan yang menyatakan ukuran potongan roti tersebut, yaitu : 1, 1/2 , 1/4, 1/8, ... Dari barisan ini dapat disimpulkan bahwa a = 1 dan r = 1/2 sehingga didapatkan untuk ukuran potongan ke 7 adalah U7 =
- Un = a . r^(n-1)
- U7 = 1 . (1/2)^(7-1)
- U7 = 1 . (1/2)^(6)
- U7 = 1 . (1/64)
- U7 = 1/64
===============================================
Dalam sebuah mangkok berisi air terdapat sebuah kuman yang berkembangbiak dengan cara membelah diri setiap 1 jam sekali. Berapakah jumlah kuman dalam mangkok itu setelah 24 jam?
Jawab : Jika kita tuliskan, maka jumlah kuman dalam mangkok tersebut setiap jamnya adalah : 1, 2, 4, 8, ... yang merupakan barisan geometri dengan nilai a = 1 dan r = 2 . maka setelah 24 jam, jumlah kumannya adalah U24.
- Un = a . r^(n-1)
- U24 = 1 . 2^(24-1)
- U24 = 1 . 2^23
- U24 = 8.388.608
===============================================
DERET GEOMETRI
Deret geometri ialah jumlah suku- suku dalam sebuah barisan geometri.
Contoh Deret Geometri
- 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...
- 2 + 6 + 18 + 54 + ...
- 5 + 10 + 20 + 40 + ...
- 1000 + 500 + 250 + 125 + ...
Rumus Deret Geometri:
Untuk menghitung jumlah suku pada sebuah deret geometri, perlu diperhatikan bentuk deretnya. Adakalanya deret itu angkanya semakin besar (divergen) atau semakin kecil (konvergen). Deret divergen dicirikan bahwa nilai r>1 sedangkan deret konvergen nilai r<1.
Contoh penerapan rumus deret Geometri:
Sebuah deret geometri tersusun atas angka- angka : 5, 10, 20, 40, ... berapakah jumlah 8 angka pertama pada deret tersebut?
Jawab : Dari deret tersebut disimpulkan bahwa a = 5 dan r = 2. Karena nilai r>1, maka digunakan rumus nomor 1, sehingga didapatkan bahwa jumlah 8 suku pertama adalah S8.
- Sn = a . ((r^n) - 1)) / r-1
- S8 = 5 . ((2^8) - 1)) / 2-1
- S8 = 5 . ((256) - 1)) / 1
- S8 = 5 . (255) / 1
- S8 = 1275
Sebuah deret geometri tersusun atas angka - angka : 1000 + 500 + 250 + ... Berapakah jumlah 8 suku pertama deret tersebut?
Jawab: Deret di atas adalah deret geometri dengan nilai a = 1000 dan r = 0,5 sehingga jumlah 8 suku pertama adalah S8. Karena nilai r<1, maka digunakan rumus kedua:
CONTOH PENERAPAN DERET GEOMETRI DALAM KEHIDUPAN SEHARI- HARI
Seseorang yang jahat mengarang sebuah berita bohong "HOAX" dan mensharenya ke dalam sebuah group. Dua orang dalam group itu mempercayai informasi bohong itu dan mereka mensharenya ke group lain. Jika dianggap 2 orang dari masing- masing group yang menerima kabar bohong itu mempercayai kabar itu dan kemudian melakukan sharing ke group yang lain, maka berapakah jumlah orang yang mempercayai "HOAX" atau kabar bohong itu setelah sharing ke 20?
Jawab : Jika kita ubah ke bentuk matematik, maka jumlah orang yang percaya hoax itu adalah : 2 + 4 + 8 + ... +U20 . Dari bentuk ini dapat disimpulkan bahwa pola ini adalah merupakan deret geometri dengan a = 2 dan r = 2 . Sehingga jumlah suku hingga urutan ke 20 adalah S20, maka :
No comments:
Post a Comment